MEMBUKA CAKRAWALA MATEMATIKA

MEMBUKA CAKRAWALA MATEMATIKA **)

PENDAHULUAN


Memasuki; abad ke-21 ini, maka hampir semua kegiatan kehidupan manusia sudah mempergunakan matematika, baik matematika sederhana, berhitung atau transaksi belanja di pasar tradisional sampai pasar modern maupun menyangkut perhitungan yang lebih rumit lagi misalnya untuk perhitungan navigasi penerbangan antariksa.

Dari sejarah, dapat ditelusur bahwa matematika berkembang sebagai saudari kembar filsafat yang secara bersama-sama atau sendiri-sendiri saling berbagi memberikan inspirasi dalam menguak misteri kehidupan dan alam semesta. Pemikiran dan penelaahan manusia terhadap alam terus berkembang. Tuntutan kebutuhan untuk memecahkan segala sesuatu yang berkaitan dengan kehidupan manusia terus mendesak. Intelektualitas manusia sebagai peneguhan terhadap jatidirinya mampu menghasilkan alat guna mempertahankan dirinya sebagai eksistensi manusia sebagai mahluk berpikir, "Cogito, ergo sum" 1)


Tuntutan terhadap matematika terus berkembang seiring dengan kemajuan peradaban manusia. Sejarah menunjukan bahwa matematika tidak tumbuh sendiri namun tumbuh bersama disiplin ilmu lainnya terutama ilmu filsafat dan ilmu fisika, saling mengisi layaknya memberikan soal jawab dalam memecahkan masalah kehidupan dan lingkungannya. Penelusuran sejarah juga membuktikan bahwa sebagai "sparing partner" ilmu fisika menjadi inspirasi bagi matematika dan sebaliknya, seringkali dalam aktivitas ini ditemukan teori-teori baru yang saling melengkapi.

Disamping menjadi dasar bagi disain ilmu teknik misalnya dalam fisika, matematika juga memberikan inspirasi pemikiran kepada bidang lainnya seperti bidang sosial, ekonomi, arsitektur dan kegiatan budaya seperti pada seni musik dan lukis. Dapat dikatakan bahwa fungsi matematika, selain mengenai matematika itu sendiri juga merupakan suatu bahasa komunikasi, proses dan interaksi umpan-balik bagi pengetahuan dan ilmu pengetahuan lainnya.

Maka tidak berlebihan apabila Kline mengatakan bahwa : "jatuh bangunnya suatu negara , dewasa ini, tergantung dari kemajuannya di bidang matematika" atau bagi kita bangsa Indonesia ucapan The Liang Gie (1980) " ... alangkah merawankannya bila suatu bangsa dengan lebih daripada 130.000.000 ( tahun 2005 : ± 218.868.791) daya pikir tidak mampu menyumbang sesuatu kepada peradaban dunia modern !" patut untuk kita renungkan.

Dalam makalah ini penulis mengumpulkan beberapa informasi mengenai sejarah matematika untuk melihat keterkaitan peran ilmu matematika dengan ilmu bidang lainnya khususnya bidang fisika dimana penulis bekerja. Penulis sangat menghargai otoritas dan kepakaran penulis sumber. Banyak pernyataan yang penulis kutip sepenuhnya yang dimaksudkan untuk menjaga sistimatika keutuhan dan pengertian dari sumber aslinya, untuk itu penulis mengucapkan penghargaan yang setinggi-tinggi kepada penulis sumber.


MATEMATIKA DAN FILSAFAT ; THE TWIN SISTER 2)

Dalam bukunya Filsafat Matematika, The Liang Gie (1980) menegaskan bahwa suatu kekeliruan apabila orang menganggap bahwa filsafat merupakan "the great mother of the sciences" 3) (ibu agung dari ilmu-ilmu) atau "ayah" atau "ibu" semua cabang ilmu termasuk matematika. Sesungguhnya filsafat dan geometri (suatu cabang matematika!) lahir pada masa yang sama, dan dari ayah yang tunggal, yakni sekitar 640 - 546 sebelum Masehi di Miletus (terletak di pantai barat negara Turki sekarang), dan dari pikiran seorang pandai bernama Thales yang diakui pula sebagai ayah dari penalaran deduktif (the father of deductive reasoning). Tidak salah jika seorang ahli filsafat Wesley C. Salmon (1975) menulis dalam sebuah pengantar kefilsafatan tentang ruang, waktu dan gerak bahwa filsafat dan geometri dinyatakan sebagai "the twin sister" (saudari kembar). Dalam lintasan sejarah kedua saudari kembar filsafat dan matematika itu selanjutnya tumbuh bersama-sama dengan saling memberikan persoalan-persoalan sebagai bahan masuk dan umpan balik dibawah asuhan seorang filsuf dan juga ahli matematika yaitu Pythagoras (572 - 497 SM). la mendirikan mazhab Pythagoras di Crotona yang mengemukakan ajaran filsafat bahwa substansi dari semua benda ialah bilangan dan segenap gejala alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Mazhab ini juga kemudian mengembangkan pokoksoal matematika yang merupakan susunan bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk geometris (figurate numbers), yang kini termasuk teori bilangan. Begitu tingginya penghargaan terhadap matematika sehingga para penganut mazhab Pythagoras ini mempunyai dalil yang berbunyi "Number rules the universe" (bilangan mengatur alam semesta) dan konon pintu gerbang Akademi Plato (428 - 348 SM) 4) dimana tempat orang belajar filsafat bertuliskan "Let no man ignorant of geometry enter" (janganlah orang yang tak berpengetahuan geometri masuk) Dalam sejarah matematik diberitakan pula bahwa Plato pernah menyatakan "God ever geometrizes" (Tuhan senantiasa bekerja dengan metode geometri) 5) Pernyataan ini didukung pula oleh ilmuwan modern seorang ahli matematik C.G.J. Jacobi (1804 - 1851 M) yang menyatakan "God ever arithmetizes" (Tuhan senantiasa melakukan aritmatika)


MATEMATIKA DAN FISIKA ; DUA DISIPLIN ILMU YANG SALING BERBAGI

Sampai tahun 1600-an matematika terdiri dari aljabar, geometri Euclid 6) dan permulaan trigonometri. Pada kurun waktu tersebut (622 - 1600) para ilmuwan timur 7) mewarnai perkembangan ilmu pengetahuan melalui penemuan-penemuannya dalam bidang matematika, fisika, kimia, astronomi, kedokteran, kesusastraan, penyusunan sejarah dan lain-lain. Para ahli mengilustrasikan perkembangan ilmu pengetahuan kurun waktu tersebut, terutama peran dunia Arab/Islam dengan mengatakan : 8)

"Recent research paints a new picture of the debt that we owe to Islamic mathematics. Certainly many of the ideas which were previously thought to have been brilliant new conceptions due to European mathematicians of the 16th, 17th, and 18th centuries are now known to have been developed by Arabic/Islamic mathematicians around four centuries earlier. In many respects, the mathematics studied today is far closer in style to that of Islamic mathematics than to that of Greek mathematics." (J. J. O'Conner and E. F. Robertson dalam MacTutor History of Mathematics archive)

"Al-Khwarizmi's successors undertook a systematic application of arithmetic to algebra, algebra to arithmetic, both to trigonometry, algebra to the Euclidean theory of numbers, algebra to geometry, and geometry to algebra. This was how the creation of polynomial algebra, combinatorial analysis, numerical analysis, the numerical solution of equations, the new elementary theory of numbers, and the geometric construction of equations arose." (R. Rashed dalam The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra)

Selanjutnya Kline 9) menuturkan bahwa dalam abad ketujuh belas kebutuhan ilmu terhadap matematika yang mulai mendesak merangsang perkembangan matematika dengan pesat. Kebutuhan terhadap matematika dalam mempelajari garis lengkung, yang berupa jalan yang ditempuh cahaya melalui lensa, trayek tembakan meriam, perjalanan kapal di laut, atau orbit planit-planit, menyebabkan Rene Descartes (1596 - 1650) dan Piere de Fermat (1601 - 1665) menciptakan metode aljabar mengenai garis lengkung, sehingga aljabar kemudian dapat dipakai dalam mendeduksikan sifat-sifat garis lengkung tersebut. Ciptaan ini dinamakan geometri koordinat atau geometri analitis.

Kebutuhan untuk menghitung berbagai kecepatan, gaya, tekanan dan berbagai sifat lainnya dari benda-benda langit, serta masalah lain seperti navigasi dan tembakan meriam, dapat dilakukan dengan ditemukannya konsep baru tentang limit, dan suatu cara baru yang disebut diferensial. Kedua konsep ini merupakan pokok dari kalkulus diferensial. Untuk memperoleh suatu jumlah total dari serangkaian obyek yang jumlahnya tak terbatas, umpamanya jumlah gaya gravitasi dari tiap bagian bumi terhadap suatu masa, maka kalkulus integral diciptakan.

Kalkulus merupakan permulaan dari serangkaian cabang matematika baru yang biasanya disebut analitik. Persamaan diferensial, deret tak terhingga, geometri diferensial, kalkulus dari variasi, fungsi dan variabel yang kompleks, analisa vector dan analisa tensor merupakan contoh dari analisa tersebut. Ruang lingkup aljabar juga kemudian diperluas dengan berbagai abstraksi seperti kompleks, vector, matriks, gugus abstrak dan teori tentang struktur aljabar yang dikenal sebagai aljabar abstrak. Geometri proyektif, geometri non-Euclid, aljabar geometri dan topologi.

Abad kesembilan belas Carl Fredrich Gauss (1777 - 1855) menyadari bahwa geometri Euclid tak lagi dapat dianggap satu-satunya geometri untuk ruang karena geometri yang non-Euclid mungkin dapat dipergunakan. Namun usaha Gauss untuk menguji secara eksperimental mana dari kedua geometri Euclid dan non-Euclid ini yang cocok untuk dunia fisik menemui kegagalan. Bernhard Riemann (1826 - 1866) murid Gauss meneruskan gagasan yang telah dirintis gurunya. Ia mengembangkan geometri yang mencakup penyelesaian dalam dimensi dua, tiga dan banyak dari suatu ruang lengkung. Pada saat awal penemuan ini para ahli memandang GeomentriNon-Euclid ini terlalu abstrak dan tidak berguna sehingga ketika Albert Einstein (1879 - 1955) dapat menggunakan geometri non-Euclid yang dikombinasikan dengan metode kalkulus dalam menjelaskan mengenai teori relativitasnya, dukungan para ahli pada teori ini semakin nyata. Dengan penemuan ini akhirnya ahli matematika mempunyai banyak pilihan apakah Euclid atau non-Euclid atau kombinasi antara keduanya, bergantung pada aksioma yang dia bangun.

Mencermati perkembangan matematika selanjutnya kita akan amati terjadinya perubahan dalam hakekat matematika. Konsep yang mula-mula mengenai bilangan, pecahan dan beberapa bentuk geometris yang jelas didasarkan kepada pengalaman manusia secara langsung. Matematika kemudian berkembang dan menerapkan berbagai konsep abstrak seperti bilangan irrasional, bilangan negatif, dan bilangan kompleks. Setelah itu ditemukan berbagai teori yang sama pentingnya seperti teori cahaya, listrik, magnetisme, gelombang elektro magnetis (termasuk gelombang radio), aliran benda cair dan gas, relativitas, struktur atom, struktur molekul, genetika kuantitatif dan berbagai bidang keilmuan baru. Berdasarkan tema yang dihadapi oleh masalah fisik, ahli matematika bukan saja membantu memecahkan masalah tersebut secara matematis, bahkan sering sekali secara tidak sengaja mereka memberikan konsep dan kerangka teori fisika yang baru. Dengan suksesnya Einstein mengombinasikan konsep geometri yang baru dengan matematika klasik yang telah ditemukan sebelumnya maka abad ke duapuluh fisikawan menyadari bahwa terdapat kekurangan dan kelemahan yang sangat mendasar pada konsep-konsep dasar dalam fisika klasik dan perlu ditambahkan konsep dan prinsip yang baru yang lain samasekali dengan konsep dasar fisika klasik, yaitu konsep fisika modem yang ditopang dan dibangun oleh teori relativitas (khusus dan umum), dan fisika kwantum (Yariv, 1982; Townsend, 1992) Perubahan fundamental ini menumbuhkan kesadaran fisikawan bahwa fisika modem dan fisika klasik perlu diintegrasikan sehingga menjadi suatu pengetahuan utuh yang logis dan konsisten 10) Memasuki abad 20, matematika seperti logika matematika, topologi, teori fungsi kompleks dan teori permainan memasuki babak baru dengan tuntutan baru yang hanya dan hanya bisa dijawab dengan metode matematika. Beberapa matematikawan populer pada abad itu diantaranya seperti David Hilbert (1862 - 1943) , Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887- 1920) , Kurt Godel (1906 - 1978), Wolfgang Haken (1982 -) dan Kenneth Appel (1932 - ), Andrew Wiles (1953 -), dan Paul Cohen (1934 - 2007) Pada abad itu pula terjadi peningkatan kuantitas dan kualitas ahli matematikawan secara drastis, setiap tahun ratusan matematikawan dipromosikan menjadi matematikawan profesional Ph.D dengan kesempatan kerja pada berbagai bidang terutama lembaga riset, pendidikan dan industri 12)


MATEMATIKA DALAM ILMU SOSIAL ; SUATU TANTANGAN BAGI MATEMATIKAWAN

Didorong oleh antusiasme tentang kekuatan menalar (reasoning) lewat matematika dan kesuksesan matematika dalam bidang fisika, memberikan inspirasi para pemikir-pemikir terkemuka untuk menggarap masalah-masalah lainnya secara rasional dengan mengembangkan matematika untuk ilmu pemerintahan, ekonomi, sosial dan kedokteran. Romantisme ini telah dirintis oleh pemikir-pemikir perintis terkemuka sejak abad kedelapan belas. Namun sejauh ini usaha yang dilakukan para ahli belum memuaskan. Pada kenyataannya hanya beberapa masalah matematis dalam ilmu sosial (dan kedokteran) yang termudah saja yang telah dapat dipecahkan. Dalam hal ini dapat dicontohkan seperti perlakuan statistik dalam ilmu sosial dan kedokteran. 13)

Ahli ilmu sosial dewasa ini sering menemukan bahwa ahli matematika tidak mampu memberi dia jalan dalam menghadapi masalah tentang model matematis yang dia inginkan. Kemeny 14) mensinyalir bahwa banyak ahli matematika yang mempunyai kesan bahwa masalah matematis dalam ilmu-ilmu sosial adalah seluruhnya bersifat remeh. Hal ini tidak benar, bahkan sebaliknya, kebanyakan masalah dalam ilmu-ilmu sosial terlampau sukar bagi matematika dewasa ini. Karena masalah yang timbul dalam ilmu¬ilmu sosial secara cepat berubah dan makin bertambah sukar. Ilmu sosial dapat ditandai oleh kenyataan bahwa kebanyakan dari masalah yang dihadapinya tidak mempunyai pengukuran yang mempergunakan bilangan dan pengertian tentang ruang adalah sama sekali tidak relevan sedangkan dalam pengertian yang sempit seorang ahli matematika akan beroperasi pada bilangan dan ruang. Pada hakekatnya, matematika adalah usaha memperoleh gambaran alam fisik dengan membangun aksioma-aksioma yang menyatakan hubungan kuantitatif antara berbagai konsep fisik, dimana strukturnya adalah serangkaian deduksi matematis, dan teorema-teroremanya merupakan pembuktian matematis tentang konsep-konsep tersebut. Dalam ilmu sosial, gejala sosial adalah lebih kompleks dibandingkan dengan gejala alam (fisika). Gejala sosial juga mempunyai karakteristik fisik namun memerlukan suatu penjelasan yang lebih dalam untuk mampu menerangkan gejala tersebut. Bagi ahli ilmu sosial, penyelesaian masalah secara "matematis" melalui hukum-hukum matematika atau ilmu fisika yang ada sering dirasakan tidak memuaskan untuk menerangkan gejala-gejala yang tercakup. Sehingga inilah alasan yang cukup untuk mengharapkan bahwa berbagai ilmu-ilmu sosial akan merupakan perangsang bagi pengembangan cabang-cabang matematika yang baru, dan suatu hari nanti, ahli teori ilmu-ilmu sosial harus mengetahui matematika lebih banyak daripada apa yang harus diketahui ahli fisika sekarang. 15)


PENUTUP

Otentitas dan otoritas matematika senantiasa memberikan kontribusinya dalam memajukan dunia keilmuan dan kemanusiaan (sains yang humanisik)

Banyak peristiwa penemuan matematika di awali dengan fenomena yang harus di selesaikan dalam ilmu fisika sebaliknya dalam hal lain konsep-konsep abstraksi matematikawan sebagai hasil penalarannya mampu dirasionalisasi oleh fisikawan. Begitu juga dalam bidang filsafat, sehingga di dalam sejarah tiga cabang ilmu tersebut, kita akan sulit membedakan secara gamblang peran seseorang tokoh apakah dia matematikawan, fisikawan ataukah filsuf.

Dalam berbagai hal, ilmu filsafat dan ilmu fisika menjadi sahabat bagi ilmu matematika sebagai sahabat yang saling membagi dan mengisi. Dalam imu sosial, gejala sosial dipandang lebih rumit untuk diformulasikan kedalam hubungan kuantitatif. Beberapa model diajukan untuk menjembatani. Matematika untuk ilmu-ilmu sosial masih merupakan peluang dan sekaligus tantangan untuk merajut otorisasi matematika dalam bidang tersebut.


CATATAN KAKI

1) Pemyataan filosofis Rene Descartes (1596 - 1650) yang menjadi unsur pokok filsafat rasionalitas Barat. Secara harfiah sering diterjemahkan sebagai "I think, therefore I am" atau "Saya berpikir, oleh karena itu saya ada "

2) Diambil dari The Liang Gie, 1980, Filsafat Matematika, Super, Yogyakarta, h 7- 19.; (Sebagai penghargaan kepada buku pertama berbahasa Indonesia mengenai Filsafat Matematika)

3) Pendapat ini dilontarkan oleh seorang tokoh pembaharu Zaman Renaisance dari Inggris Francis Bacon (1561 -1626)

4) Pada kurun waktu tersebut, Pythagoras menekankan pentingnya matematika sebagai suatu sarana atau alat bagi pemahaman filsafati sedangkan Plato menegaskan bahwa geometri sebagai pengetahuan ilmiah berdasarkan akal murni (pure reason) menjadi kunci ke arah pengetahuan dan kebenaran filsafati serta bagi pemahaman mengenai sifat alami dari kenyataan yang terakhir (the nature of ultimate reality) (Ibid h 7 - 19)

5) Kepercayaan orang Yunani bahwa jagat raya tersusun secara matematis, dengan demikian maka gejala alam hanya dapat difahami dalam pengertian angka dan geometri (Morris Kline, 1978, Matematika dalam Jujun S. Suriasumantri, Ilmu dalam Perspektif, PT Gramedia, h 174)

6) Euclides ( ± 300 SM)

7) Sistem bilangan secara lengkap (termasuk angka nol) diperkenalkan pada abad 9 berkat sumbangan besar dunia Arab yaitu Al-Kwarizmi (780 - 850) dalam bukunya Al Jabr wal Muqaballa (pengelompokan dan hukum pencoretan) melalui persentuhan dengan budaya India (Hindu) yang telah terlebih dahulu mengenal angka 0. Aljabar dan algortima merupakan dua istilah dalam dunia matematika dan komputer yang didekasikan untuk karyanya dan namanya. (Brigitte Muth, 1985, Wiskunde, Het Spectrum B.V., Den Haag dan Eduard Glas, 1981, De inbreng van de Islam : algoritmiek, Wiskunde en Samenleving in Historisch Perspectief, Dick Coutinho, Muiderberg, h 58).

8) http://en.wikipedia.org/wiki/Islamic_mathematics; termasuk daftar matematikawan Muslim abad tersebut. Selain itu, ilmu pengetahuan (barat) berhutang budi kepada ilmuwan-ilmuwan bangsa Arab, Persi, India, Maroko, dan Andalusia (abad 7- abad 17) untuk banyak hal dalam dunia kedokteran, arsitektur gaya melengkung Gotik yang lancip, nyanyian tubadur, akses ke filsafat Plato dan Aristoteles, dan masih banyak hal lainnya (Murad W. Hofmann, 2003, Bangkitnya Agama, PT Serambi Ilmu Semesta, Jakarta, h. 217)

9) Morris Kline, 1878, Matematika, dalam Jujun S. Suryasumantri, Ilmu dalam Perspektif, PT Gramedia, h 172 – 185

10) Asan Damanik, 2000, Peranan Fisika dalam Peradaban Manusia, Sains : dari Manusia untuk Manusia, Penerbitan Universitas Sanata Dharma, h 105

11) Di tahun 1900, pada Kongres Internasional Matematika, Hibert memperlihatkan 23 masalah matematika yang tidak terpecahkan meliputi berbagai bidang ilmu yang menjadi perhatian ahli matematika abad 20. Sampai saat ini baru 10 sepenuhnya dapat diselesaikan, 7 terselesaikan sebagian, 2 masih terbuka untuk penelaahan dan empat sisanya belum diketahui apakah sudah dapat diselesaikan atau tidak. Tahun 1910-an Ramanajun menemukan sekitar 3000 teorema dalam berbagai bidang matematika. (http://en.wikipedia.org/wiki/History of mathematics)

12 ) Hoffman mencatat bahwa di Santa Clara, dimana perusahaan Intel berada terdapat 700 pakar komputer muslim terutama yang berasal dari India yang sangat cerdas dalam bidang matematikanya. AST dan Focus Software International di Palo Alto, kampung halaman Apple, merupakan perusahaan perangkat lunak yang dikelola oleh orang-orang muslim (India). (Murrad W. Hoffman, 2003, Islam di Amerika, Bangkitnya Agama, PT Serambi Alam Semesta, Jakarta, h 257)

13) Dengan ditemukannya instrumen-instrumen fisis untuk dunia kedokteran, peran matematika melalui fisika (teknik) semakin nyata.

14) John G. Kemeny, 1978, Matematika Tanpa Bilangan : Matematika untuk Ilmu-Ilmu Sosial, dalam Jujun S. Suryasumantri, Ilmu dalam Perspektif, PT Gramedia, h 186.

15) Ibid, h 188 - 200 ; dalam buku ini Kemeny memberikan contoh beberapa model pendekatan matematis untuk ilmu-ilmu sosial yaitu model-model matematis dalam memecahkan masalah tanpa bilangan. 

DAFTAR PUSTAKA

1. The Liang Gie, 1980, Filsafat Matematika, Pengantar Perkenalan, Super, Yogyakarta.

2. Jujun S. Sumantri (editor), 1978, Ilmu dalam Perspektif, Sebuah Kumpulan Karangan Tentang Hakekat Ilmu, PT Gramedia, Jakarta

3. Eduard Glas, 1981, Wiskunde en Samenleving in Historische Perspectief, Dick Coutinho, Muiderberg

4. J. Eka Priyatma, Frans Susilo SJ, A. Setiyoko (editor), 2000, Sains : Dari Manusia untuk Manusia, Penerbitan Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta

5. Brigitte Muth, 1985, Wiskunde, Actuele Basiskennis, Het Spectrum B.V, Utrecht /Antwerpen

6. Murad W. Hoffman, 2003, Bangkitnya Agama, Ber-Islam di Alaf Baru, Serambi, Jakarta


**) Ditulis kembali dari makalah berjudul PELUANG BAKTI MATEMATIKAWAN DI LIPI KHUSUSNYA DI BIDANG FISIKA DAN TERAPANNYA, disampaikan pada pertemuan HIMATIKA - UGM, LIPI, Jakarta 14 Augustus 2008


Dapat juga dibaca disini Blog LIPI : Moch Imam Hidayat